\chapter{Непрерывная задача моментов}
\section{Постановка задачи}
Рассмотрим следующую задачу
\begin{gather}\label{tMoment}
	\begin{cases}
	\dot{x}(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)+f(t);\\
	A(t)\in\real^{n\times n},\ B(t)\in\real^{n\times m},\
f(t)\in\real^{n\times 1},\\
	x\in\real^n,\ u\in\real^m.
	\end{cases}
\end{gather}

Будем полагать, что $A$, $B$ и $f$ --- непрерывные функции. Если же они измеримы, то задачу стоит понимать \glqqqпочти всюду\grqqq, а решение --- решением по Каратеодори.
Систему, находящуюся в начальном состоянии, необходимо привести в конечное состояние:
\begin{equation}
	x(t_0)=x^0\longrightarrow x(t_1)=x^1.\label{tMoment2}
\end{equation}

Задача слишком \glqqqсвободная\grqqq, поэтому поставим дополнительное условие:
\begin{equation}\label{ogr}
	\int\limits_{t_0}^{t_1}\norm{u(t)}^2dt\leq\mu^2.
\end{equation}
Это ограничение также можно записать как $\norm{u}_\LTwo^2 \leq \mu^2$.
\begin{problem}
Найти минимальное $\mu$, при котором задача \eqref{tMoment},
\eqref{tMoment2} разрешима.
\end{problem}
\section{Решение}
По формуле Коши получим:
\begin{equation*}
	x^1=X(t_1,t_0)x^0+\int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau+%
\int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)f(\tau)d\tau.
\end{equation*}
Это утверждение эквивалентно следующей задаче моментов:
\begin{gather}\label{ourTask}
	\begin{cases}
	c=x^1-X(t_1,t_0)x^0-\int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)f(\tau)d\tau,\\
	H(t_1,\tau)=X(t_1,\tau)B(\tau),\\
	\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1, \tau)u(\tau)d\tau=c.
	\end{cases}
\end{gather}
Введём множество достижимости:
\begin{gather*}
	\notag\soa_\mu(t_1,t_0) = \soa_\mu[t_1]=\left\{\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u(\tau)d\tau\biggl|\eqref{ogr}\right\}.
\end{gather*}
\begin{stm}
	$\soa_\mu\in\conv\mathbb R^n$.
\end{stm}
\begin{proof}
	Для доказательства исходного утверждения необходимо доказать три свойства: выпуклость, ограниченность и замкнутость.
	
	\emph{Выпуклость}:
	\begin{gather*}
	 c^1,c^2\in\soa_\mu\Rightarrow c^j=\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u^j(\tau)d\tau;\norm{u^j}_\LTwo\leqslant\mu.
	\end{gather*}
	Требуется показать, что:
	\begin{equation*}
		c=\lambda c^1+(1-\lambda)c^2\in\soa_\mu, \quad \lambda\in(0,1).
	\end{equation*}
	Если мы возьмем
	\begin{equation*}
	u(t)=\lambda u^1(t)+(1-\lambda)u^2(t),
	\end{equation*}
	то в силу выпуклости нормы имеем:
	\begin{equation*}
		\norm{u}_\LTwo\leqslant\lambda\norm{u^1}_\LTwo+(1-\lambda)\norm{u^2}_\LTwo\leqslant\mu.
	\end{equation*}
	Домножаем $c^1$ на $\lambda$, $c^2$ на $(1-\lambda)$, складываем и получаем, что:
	\begin{equation*}
		c=\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u(\tau)d\tau;\ \norm{u}_\LTwo\leqslant\mu.
	\end{equation*}
	Таким образом, $c\in\soa_\mu$, что и требовалось доказать.

	
	\emph{Ограниченность}: Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского:
	\begin{equation*}
		\norm{\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u(\tau)d\tau}\leqslant\int\limits_{t_0}^{t_1}\norm{H(t_1,\tau)}\norm{u(\tau)}d\tau\stackrel{\text{К.--Б.}}{\leqslant}\left(\int\limits_{t_0}^{t_1}\norm{H(t_1,\tau)}^2d\tau\right)^{\tfrac{1}{2}}\mu\equiv\const.
	\end{equation*}

	\emph{Замкнутость}: По-человечески доказать это мы пока не сможем. Этот шар не компактен. В~частности, это связано с~различием сходимости по~норме и покоординатной сходимостью. Но всё-таки приведем доказательство замкнутости:
	$$u^j\leftrightarrow c^j\in\soa_\mu.$$
	\begin{df}
		$u^j\xrightarrow[j\rightarrow\infty]{\text{слабо}}u^0$, если $\forall\ g\in \LTwo:\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1}g(t)u^j(t)dt \to \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1}g(t)u^0(t)dt$.
	\end{df}
	Так~как это слабый компакт, то без ограничения общности будем считать, что
	\begin{gather*}
		u^j\xrightarrow[j\rightarrow\infty]{\text{слабо}}u,\\
		c^j=\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u^j(\tau)d\tau,\\
		H(t_1,\tau)=\begin{bmatrix}
		            	H_1(t_1,\tau)\\
				\vdots\\
				H_n(t_1,\tau)
		            \end{bmatrix}\in\mathbb R^{n\times m}.
	\end{gather*}
	Тогда получим:
	\begin{equation*}
		c_i^j=\int\limits_{t_0}^{t_1}H_i(t_1,\tau)u^j(\tau)d\tau\xrightarrow[j\rightarrow\infty]{}\int\limits_{t_0}^{t_1}H_i(t_1,\tau)u(\tau)d\tau=c\in\soa_\mu.
	\end{equation*}
	Найдём опорную функцию:
	\begin{align*}
		\sufu{l}{\soa_\mu} &= \sup_C \set{\scalar{l}{c}}{c=\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u(\tau)d\tau} = \sup_{u(\cdot):\eqref{ogr}}\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l}{H(t_1,\tau)u(\tau)}d\tau={}\\{}&=\sup_{u(\cdot):\eqref{ogr}}\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{H^T(t_1,\tau)l}{u(\tau)}d\tau\stackrel{\text{К.--Б.}}{\leqslant}\sup_{u(\cdot):\eqref{ogr}}\left(\left[\int\limits_{t_0}^{t_1}\norm{h(t_1,\tau)}^2d\tau\right]^{\tfrac{1}{2}}\norm{u}_\LTwo\right)={}\\{}&=\mu\norm{h(t_1,\tau)}_\LTwo, \text{ где }h(t_1,\tau)=H^T(t_1,\tau).
	\end{align*}
	Поэтому $u(t)=\lambda h(t_1,\tau)$, $\lambda=\const\geqslant0$; $\sup$ достигается на $u^*(\tau)=\dfrac{h(t_1,\tau)}{\norm{h(t_1,\tau)}}$, если $h(t_1,\tau)\ne0$.
	
\end{proof}
\subsection{Исследование разрешимости задачи моментов}
\begin{align*}
\text{\eqref{ourTask} разрешима} & \Leftrightarrow\forall l\ne0,\ \scalar{l}{c}\leq \sufu{l}{\soa_\mu} = \mu\norm{h}_\LTwo \Leftrightarrow \mu \geq \dfrac{\scalar{l}{c}}{\norm{h}_\LTwo}\Leftrightarrow{}\\{}&\Leftrightarrow \mu\geq \mu^0=\sup\limits_{l\ne0}\dfrac{\scalar{l}{c}}{\norm{h}_\LTwo}.
\end{align*}

Имея в~виду, что $\sup$ конечен, распишем $\norm{h}_\LTwo$:
\begin{equation*}
	\norm{h}_\LTwo=\left[\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{H^T l}{H^T l}d\tau\right]^{\tfrac{1}{2}}=\left[\scalar{l}{\left(\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)H^T(t_1,\tau)d\tau\right)l}\right]^{\tfrac{1}{2}}.
\end{equation*}
Обозначим через $W(t_1,\tau)$ следующее выражение:
\begin{equation*}
	W(t_1,\tau)=\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)H^T(t_1,\tau)d\tau.
\end{equation*}

Рассмотрим различные случаи:

\begin{enumerate}
	\item $\left|W(t_1,t_0)\right|\ne0$.

	Заметим, что $W$ --- матрица Грамма строк матрицы $H$, а т.\,к. $|W|\ne0$, то строки $H(t_1,\cdot)$ линейно независимы.

	$\forall l$ верно, что $\scalar{l}{Wl}\ne0$, где $\ \sqrt{\scalar{l}{Wl}}$ --- норма.

	$\mu_0$ --- норма от $c$, сопряженная к $\sqrt{\scalar{l}{Wl}}$, выпишем это явно:
	\begin{equation*}
		\mu_0=\sup \set{\scalar{l}{c}}{\scalar{l}{Wl}=1}=\sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}.
	\end{equation*}

	Максимум достигается на $l^0=\dfrac{W^{-1}c}{\sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}}$, тогда $h^0(t_1,\tau)=H^T(t_1,\tau)l^0$.

	Используя то, что $\scalar{l^0}{Wl^0}=1$, найдём управление:
	\begin{equation*}
		u^0(\tau)=\mu^0\dfrac{H^T(t_1,\tau)l^0}{\sqrt{\scalar{l^0}{Wl^0}}}=\sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}H^T(t_1,\tau)\dfrac{W^{-1}c}{\sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}}=H^T(t_1,\tau)W^{-1}(t_1,\tau)c.
	\end{equation*}

	Для задачи моментов $\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1}H(t_1,\tau)u(\tau)d\tau=c$ имеем $\varGamma u=c$, тогда $u=\varGamma^T l$($\varGamma^T$ --- сопряженный оператор), отсюда $\varGamma\varGamma^T l=c$.

	Множество достижимости для этого случая --- невырожденный эллипсоид $\soa_\mu$. $W$ называют матрицей управляемости. Это случай полной управляемости, то есть если мы решили задачу для $[a, b]$, то можем решить и на $[c, d]\supset[a, b]$ (просто берём управление на $[c, a]$ и $[b, d]$ как угодно, а на $[a, b]$ уже решаем).

	\item $\left|W(t_1,t_0)\right|=0$.

Задача в этом случае является не всегда разрешимой.
\begin{gather}
	\notag\rho(l|\soa_\mu)=\mu\sqrt{\scalar{l}{Wl}},\\
	\notag l\in\ker W \Leftrightarrow\rho(l|\soa_\mu)=0,\\
	\scalar{l}{c}\leqslant\rho(l|\soa_\mu)\label{nerm}.
\end{gather}

Тогда если левая часть неравенства \eqref{nerm} положительна, а правая равна нулю, то \eqref{nerm} не выполнено, поэтому:
\begin{equation*}
	c\notin(\ker W)^\perp \Rightarrow c\notin\soa_\mu,\ \forall\mu.
\end{equation*}
\end{enumerate} % FIXME: не очень уверен, что здесь конец enumerate
На самом деле, $c\in\soa_\mu\Leftrightarrow c\in(\ker W)^\perp$.
% TODO: отредактировать то, что ниже
Если мы покажем, что $c\in\soa_\mu\Leftarrow c\in(\ker W)^\perp$, то $c\notin(\ker W)^\perp\Leftarrow c\notin\soa_\mu,\ \forall\mu$.

Если $c\in(\ker W)^\perp$, то $\scalar{l}{c}\leqslant\rho\left(l\middle|\soa_\mu\right)$, надо проверить лишь, что $l\in(\ker W)^\perp$ (т.\,к. $l=l^1+l^2$, где $l\in W$, $l^1\in\ker W$, $l^2\in(\ker W)^\perp$).
\begin{gather*}
	\scalar{l}{c}=\scalar{l^2}{c},\\
	\rho(l|\soa_\mu)=\mu\sqrt{\scalar{l^1+l^2}{Wl^2}}=\sqrt{\scalar{l^1}{Wl^2}+\scalar{l^2}{Wl^2}}=\sqrt{\scalar{l^2}{Wl^2}}=\rho(l^2|\soa_\mu).
\end{gather*}

Теперь находим $\mu_0$:
\begin{equation*}
	\mu_0=\sup_{l\in(\ker W)^\perp}\dfrac{\scalar{l}{c}}{\sqrt{\scalar{l}{Wl}}}=\sup \set{\scalar{l}{c}}{\scalar{l}{Wl}=1,\ l\in(\ker W)^\perp}.
\end{equation*}